Codierungstheorie: Konstruktion und Anwendung linearer Codes by Dipl.-Math. Anton Betten, Dr. Harald Fripertinger, Prof. Dr.

By Dipl.-Math. Anton Betten, Dr. Harald Fripertinger, Prof. Dr. Adalbert Kerber, Dr. Alfred Wassermann, Prof. Dr. Karl-Heinz Zimmermann (auth.)

Eine Einführung in die Theorie der linearen Codes, in der zyklische Codes besonders ausführlich behandelt werden. Großer Wert wird auch auf computerunterstützte Methoden gelegt, insbesondere für die Bestimmung der Minimaldistanz linearer Codes, für die Abzählung der Isometrieklassen linearer Codes sowie Blockcodes und für die Erzeugung von Repräsentantensystemen dieser Klassen.
Das Buch wendet sich an Studenten und Wissenschaftler der Informatik, Mathematik und Elektrotechnik sowie an Fachleute in der Praxis.

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Beweisen Sie, daB hieraus fUr beliebige Funktionen f, g: N* --+ G und fUr irgendeine abelsche Gruppe G, die Gleichung V nEW: g(n) = fed) L din aquivalent ist zu V nEW: fen) = L J1-(d)g(nld). 3 Aquivalenz, Informationsmengen und Berechnung der Minimaldistanz Wir wollen jetzt lineare Codes zusammenfassen, die vom codierungstheoretischen Standpunkt her dieselbe Qualitat haben. Die Gtite eines Codes wird mit Hilfe der Parameter n, k und d beschrieben, also insbesondere mit der Hammingmetrik. Zwei (n, k)-Codes C und C' haben dieselbe Qualitat, wenn sie durch eine invertierbare lineare Abbildung L: GF(q)n --+ GF(qt ineinander libergehen, welche die Hammingdistanz erhalt, d.

13). Also ist j aueh ein Teiler von x - x. 15 Beispiel Das Polynom x 16 rung in GF(2)[x): x l6 _ x = x(x - l)(x 2 +x - x E G F(2)[x) besitzt die folgende Faktorisie- + l)(x 4 +x + 1)(x 4 +x 3 + 1)(x 4 +x 3 +x 2 +x + 1). o SehlieBlieh solI die Existenz endlieher Korper mit beliebiger Primzahlpotenzordnung gezeigt werden. 16 Satz Zujeder Primzahlpotenz q Elementen. 2 Endliehe Korper 19 Beweis: Es bezeiehne m p(d) die Anzahl der norrnierten irreduziblen Polynome aus G F (p)[x] yom Grad d. 14 erhalten wir dureh Gradvergleieh pn =L d .

Zu einer allgemeinen Charakterisierung aller Informationsmengen eines linearen Codes gelangt man durch Betrachtung gewisser kanonischer Unterraume von GF(qt. Zu diesem Zwecke sei n := {O, ... , n - Ij die Menge aller Spaltennummem, und fUr jede Teilmenge 1 von n bezeichnen wir deren Komplement mit 1 := n \ 1. Dann bildet GF(q)J:= {(wo, ... , wn-d E GF(q)n IV j E]: Wj = OJ. einen Unterraum von G F(q)n mit Dimension 11 I. 2 Satz Ein (n, k)-Code C besitzt eine k-elementige Teilmenge 1 von n genau dann als Informationsmenge, wenn C EB GF(q)J = GF(q)n gilt.

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